50; 38–1 Temesvár 3tia Nov. 1823
Kedves Édes Apám!
Annyi teménytelen megírni valóm van az új találmányaimról, hogy éppen most nem tudok másként segítni magamon, mintha semmibe se ereszkedem belé s csak egy quartára írok; válaszát a múlt két árkusnyi levelemre várom, s talám már nem írtam volna annak vételéig, ha a Bárónénak írt levelet nem akartam volna az Édes Apám couvertje alá tenni, melynek általadására instálom.
Legelébb válaszolok a Binomiumra. Quo ad exponentes integros positivos a demonstratio perse tökélletes úgy amint megírta, hanem persé már tudni kell előre a series formáját, hogy azzal a nemivel lehessen élni a demonstratiónak, s ha még a coëfficiensek törvénye esmeretlen, mint annak volt, ki legelébb nyomozta, úgy nem lehet applicalni azt a módot, ha néha a 2dik, 3dik potentziara ab inductione előre kicsinálja az ember, ami pedig nagyon sötétbe való tapogatás volna, mert a generalis seriest még éppen nem esmerve, honnét mehetnék réá, hogy a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 éppen ez alá a kép alá jön: a3 + 3a3–1 EQ \s\up4(.) b + \f(3 * 2;1 * 2) a\s\up3(3–2) \s\up4(.) b\s\up3(2) + \f(3 * 2 * 1;1 * 2 * 3) a\s\up3(3–3) \s\up4(.) b\s\up3(3) ? Az Édes Apám demonstratiojának az a Vorzugja, hogy nagyon rövid; La Croix panaszol, hogy az írók ugyan mind demonstrálják a binominale theoremát, de a demonstratio rigorose véve csak pro integro positivo valéal, s annálfogva ő nekifog, hogy generaliter demonstrálja cum rigore, de ahol a dolog bökkenője, ott az övé se ér semmit; pro integro positivo perse jó, s megváltoztatva szép. Én azt gondolom, hogy pro integro positivo legtermészetesebb és egyenesebb s szinte legrövidebb út az, mely a Combinatiok theoriáján épül, mivel az a közönséges multiplicatio regulájából foly immediate. A combinatioknak és permutatioknak (melyekről annyit írnak hosszan és zavaroson) én húsz rendbe mindöszve, octavába fogott papirosra, már régen olyan evidens és könnyű s egyenes theoriáját írtam le, hogy bátran mondhatom: non plus ultra. Vega is sokat mesterkedik, s mégis szörnyű rossz, zavaros; az I. darab végén egy kis Nachtrag is van.
Már menyek a demonstratio másik részére. Ez valósággal igen szép, evidens, s a dolog természetéhez képest rövid is, hanem perse amint írja Édes Apám, az hibázik, hogy nincs Ergänzung; ami egy visszafelé menő valorú seriesbe nagyon wesentlich szükséges. A demonstratio röviden ebből áll. Akármi legyen q és p, képzelhetem magamnak ezt a két seriest 1 + qx + EQ \f(q(q – 1); 1 * 2) \s\up3(.) x\s\up3(2) + …in ∞, és 1 + px + EQ \f(p(p – 1); 1 * 2) \s\up3(.) x\s\up3(2) + …in ∞; ha ezt a két seriest így képzelem, perse Ergänzungról semmi szó sem lehet, mert azt a két seriest éppen úgy képzelhetem in ∞ kinyújtva, mint p.o. EQ a + \f(a;x) + \f(a;x\s\up3(2)) + … Már! ha ezen két series egymással multiplicaltatik, mindenik tag mindenikkel in ∞, bizonyos, hogy egy seriesse jő ki az x potentiáinak, melyeknek exponensei 0tol mind eggyel nőnek in ∞. Ha a 3 első tagot kifejti az ember, megtetszik, hogy EQ (1 + qx + …)(1 + px + …) = 1 + (p + q)x + \f((p + q)(p + q – 1); 1 * 2) x \s\up7(2) + … s ha tovább űzné az ember a calculust, mind ezen törvény szerént mennének a coeffitiensek; s már itt van ganz vorzüglich az Édes Apámtól adott neme a demonstrationak a maga helyin, mivel már látszik a törvény, s egyszeribe gyanítja az ember, hogy az mind úgy fog menni. Demonstrálja tehát hogyha igaz ez a törvény az ndik coeffitiensről, igaz az (n + 1)–dikről is, mégpedig igen szép, elmés formába, s simpliciter is. Már tehát annyi tökéletes bizonyos, hogy EQ \b\bc\[(1 + qx + \f(q(q – 1); 1 * 2) x\s\up7(2) + …) \b\bc\[(1 + px + \f(p(p – 1); 1 * 2) x\s\up7(2) + …) = EQ = 1 + (p + q)x + \f((p + q)(p + q – 1); 1 * 2) * x\s\up7(2) + … ha mindenik series a ∞-ba fut. Legyen már p elébb = q, azután rendre = 2q, = 3q, …, = mq (azhol m egész positiv szám, mert nem lehet negatív, amint hirtelen vétségből írta Édes Apám); ki fog jőni EQ \b\bc\((1 + qx + \f(q(q – 1); 1 * 2) * x\s\up7(2) + …) = 1 + mqx + \f(mq(mq – 1); 1 * 2) * x\s\up7(2) + … Már mivel feltettük, hogy q akármi lehessen, legyen EQ q = \f(n;m) , ahol n is egész positiv, valamint m volt; lesz EQ \b\bc\((1 + \f(n;m) x + \f(\f(n;m)\b\bc\((\f(n;m) – 1); 1 * 2) * x\s\up7(2) + …)\s\up28(m) =
EQ = 1 + \f(m * n;m) x + \f(\f(m * n;m)\b\bc\((\f(m * n;m) – 1); 1 * 2) * x
EQ = 1 + nx + \f(n(n – 1); 1 * 2) * x\s\up7(2) + …, s mivel n egész positiv, továbbá = (1 + x)n, s tehát EQ (1 + x) \s\up7(n/m) = 1 + \f(n;m) * x + \f(\f(n;m)\b\bc\((\f(n;m) – 1); 1 * 2) * x\s\up7(2) + … Q.E.D. Megjegyzendő, hogy EQ \b\bc\((1 + \f(n;m) * x + …) –nek mdik potentiaja egy véges series, mivel (1 + nx + …) megszakad: a következendő tagok coeff[iciens]jei mind = 0. Egy kisség különösnek találom, hogy a demonstratio meneteléből (mely mind tökélletesen foly), úgy tetszhetnék, mintha (1 + x)n/m tökélletesen = volna az írt visszafelé menő valorú serieshez. Erről a materiaról még értekeződünk; negatív exponensekre is majd megpróbáljuk. Már egyebet, amennyi tér.
A feltételem már áll, hogy mihelyt rendbe szedem, elkészítem, s mód lesz, a paralellákról egy munkát adok ki; ebbe a pillantatba nincs kitalálva, de az az út, melyen mentem, csaknem bizonyoson ígérte a cél elérésit, ha az egyébaránt lehetséges; nincs meg, de olyan felséges dolgokat hoztam ki, hogy magam elbámultam, s örökös kár volna elveszni; ha meglátja Édes Apám, megesmeri; most többet nem szólhatok, csak annyit: hogy semmiből egy újj más világot teremtettem; mindaz, valamit eddig küldöttem, csak kártyaház a toronyhoz képest. Meg vagyok győződve, hogy nem sokkal fog kevesebb becsületemre szolgálni, mintha feltaláltam volna. Választ várva vagyok örökös háládatossággal tisztelő fia
Bolyai mk
P.S. Jó nehéz levelet írok, de közél vagyunk, s nem kerül olyan sokba; instalom kőttessen meg, nehéz leveleivel mindig úgy, amint csak lehet, mert ha akármilyen nehezek lesznek, örömest kiváltom.
P.S. Én szüleménnyeit elmémnek Édes Apám előtt tökéletesen úgy meg merem ítélni, amint meg vagyok győződve; s nem tartok semmi félremagyarázástól, melyet ugyan nem is érdemlenék meg, amidőn az csak annak a jele, hogy bizonyos tekintetbe Édes Apámat úgy nézem, mintha az én Énem volna.
Benkő Samu közlése alapján (Bolyai-levelek, 1975.)