János Bolyai nació un 15
de diciembre de 1802, a las nueve de la noche, en Kolozsvár (hoy Cluj) en el
seno de una familia de terratenientes y militares cuya historia es bien
conocida desde el siglo XIII.
En el siglo XVII el patrimonio familiar se redujo
y al abuelo de János ya solo le quedaba una pequeńa propiedad cerca del pueblo
de Bolya, más otra procedente de su mujer, cerca de Domáld, en el condado de
Kis-Küküllő.
Su padre, Farkas Bolyai (1775-1856), fue un notable intelectual,
correspondiente de la Academia Húngara de Ciencias (1832), profesor de
matemáticas, física y química, escritor, traductor, interesado en la medicina,
la música, la pintura... Su obra más importante es el Tentamen
(1832-1833). Se trata de una obra de compilación sobre el saber matemático,
especialmente
orientada
a intentar demostrar el 5ş postulado de la geometría de Euclides. Sería su hijo
János quien asentaría que el 5ş postulado no se deduce a partir del resto de
axiomas euclidianos.
Las primeras aficiones del joven János se orientaban hacia la astronomía y mostró muy pronto una especial habilidad musical. En lugar de ir a la escuela, su padre, a la edad de nueve ańos, hacía que los profesores –en realidad, estudiantes avanzados– fueran a enseńarle a casa. Y era su propio padre quien le enseńaba matemáticas.
Farkas, considerando que en las universidades de Pest y Viena el nivel en matemáticas no era suficientemente bueno, preguntó a su amigo Carl Friedrich Gauss sobre la eventualidad de mandar a János a la universidad de Gotinga. Quizá el tono hiperbólico con que Farkas caracterizaba el intelecto de su hijo en aquella carta, y algunas impertinencias que pudieron molestarle, motivó que Gauss nunca contestara.
Entró en la Real e Imperial Academia de Ingenieros Militares en agosto de 1818, empezando directamente los estudios allí por el curso superior de los cuatro posibles por los que podía dar inicio. Así solo le quedaban cuatro más.
En 1820 puso al corriente a su padre sobre sus investigaciones acerca de las paralelas. Su padre le respondió en una larga carta: «...no avances más, o estarás perdido».
Hacia 1826 empezó a servir como subteniente en la dirección de fortificacón de Arad. Su superior directo era Johann Wolter von Eckwehr, su antiguo profesor de matemáticas en la Academia de Ingenieros, con quien mantenía correspondencia. Ese ańo János le entregó el tratado manuscrito donde recogía sus investigaciones sobre la geometría no euclidiana, pero este manuscrito se perdió.
A principios de 1828, a causa de su mala salud, volvió una temporada a casa, a Marosvásárhely, donde vio los manuscritos de las obras matemáticas de su padre preparados para la imprenta, entre ellos estaba el Tentamen. Seguramente János presentó a su padre su texto en alemán con los resultados de sus trabajos sobre geometría, y su intercambio de pareceres tuvo que animarle a profundizar la investigación relativa al espacio de la geometría absoluta.
Enfermo de malaria, fue enviado de Arad a Nagyvárad (Oradea) a supervisar la campańa de fortificaciones de 1829, y en 1830 fue designado ingeniero jefe de la dirección de fortificación de Lemberg (Lviv).
Tras otra estancia en la casa paterna la primera mitad de 1831, profundizó y puso por escrito, a sugerencia de su padre, sus ideas y descubrimientos. El padre decidió incluir el escrito de su hijo como apéndice en su Tentamen. De camino a su nuevo destino en Beszterce ((Bistriţa) János contrajo el cólera.
